笔记主要参考尤承业《基础拓扑学讲义》，为便于查找，所有定义、定理等编号与原书保持一致。
拓扑空间
设$X$是一非空集合. $X$的一个子集族$\tau$称为$X$的一个拓扑，如果它满足
（1） $X$，$\emptyset$都包含在$ \tau $ 中；
（2） $ \tau $ 中任意多个成员的并集仍在$ \tau $ 中；
（3） $ \tau $ 中有限多个成员的交集仍在$ \tau $ 中.
集合$X$和它的一个拓扑$ \tau $一起称为一个拓扑空间，记作$(X, \tau)$. 称$\tau $中的成员为这个拓扑空间的开集.
(注：这里定义了拓扑空间中的开集)
定义1.1中三个条件称为拓扑公理. 其中（3）可等价为（3’）
（3’）$\tau $中两个成员的交集仍在$\tau $ 中.
证明如下：
“$\tau$ 对有限个成员的交封闭” $\Leftrightarrow$ “$\tau$ 对任意两个成员的交封闭”.
$\Rightarrow$ 假设 $\tau$ 中任意有限个集合的交仍在 $\tau$ 中。则特别地，任取 $U, V \in \tau$，$U \cap V$ 也是有限交，故 $U \cap V \in \tau$.
$\Leftarrow$ 反过来，假设 $\tau$ 中任意两个集合的交仍在 $\tau$ 中，即如果 $U, V \in \tau$，则 $U \cap V \in \tau$. 我们将证明 $\tau$ 对任意有限个集合的交闭.
归纳地证明：
当 $n = 2$ 时，结论显然成立（即假设中的条件）.
假设任意 $n$ 个开集 $U_1, \dots, U_n \in \tau$ 有 $\bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau$.
考虑 $n+1$ 个开集 $U_1, \dots, U_n, U_{n+1} \in \tau$. 由归纳假设，$V := \bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau$.
再利用两个集合的交闭性，得到：
因此，对任意有限个开集，其交仍在 $\tau$ 中.
由此，两者等价.
□- 总结：给出集合的一个拓扑即规定哪些子集是开集，同时满足三条公理。
- 一些例子：
- 离散拓扑: $2^X$，记作$\tau_t$；
- 平凡拓扑: $(X, \emptyset)$，记作$\tau_s$;
- 余有限拓扑: $X$是无穷集合，$\tau_f= \{ A^c \mid A是X的有限子集 \} \cup \{ \emptyset \} $；
- 余可数拓扑: $X$是不可数无穷集合，$\tau_c= \{ A^c \mid A是X的可数子集 \} \cup \{ \emptyset \} $；
- 欧氏拓扑（标准拓扑）: $\mathbf{R}$是全体实数集，$\tau_e= \{ U \mid U是若干个开区间的并集 \} $，“若干个”可以是无穷、有限、零，记作$\mathbf{E}^1=(\mathbf{R}, \tau_e)$
给出余有限拓扑的证明:
验证拓扑三公理.
(1)
由定义可知$\emptyset\in\tau$ ；
$X\in\tau$，因为 $X^c=\emptyset\in\tau$ .
(2) 设 $U_{i, i\in I}\subseteq\tau$. 若存在 $i_0$ 使 $U_{i_0}=\emptyset$，不影响并集的开性，故不妨设对每个 $i$，$U_i\neq\emptyset$ 且 $X\setminus U_i$ 有限. 则
$$ X\setminus \bigcup_{i\in I} U_i = \bigcap_{i\in I} (X\setminus U_i). $$右侧是（可能是无限个）有限集的交集. 任取 $j\in I$，有
$$ \bigcap_{i\in I} (X\setminus U_i)\ \subseteq\ X\setminus U_j, $$因此该交集是某个有限集的子集，从而也是有限集. 于是 $X\setminus \bigcup_{i\in I} U_i$ 有限，即 $\bigcup_{i\in I} U_i\in\tau$.
(3) 取有限个 $U_1,\dots,U_n\in\tau$. 同理有
$$ X\setminus \bigcap_{k=1}^n U_k = \bigcup_{k=1}^n (X\setminus U_k), $$右侧为有限个有限集的并，仍为有限集. 故 $\bigcap_{k=1}^n U_k\in\tau$.
综上，$\tau$ 满足拓扑的三条公理，故为 $X$ 上的一个拓扑.
□度量拓扑
回忆： 度量空间三条性质（定义）
- 正定性
- 对称性
- 三角不等式
设$(X, d)$是一个度量空间，$x_0 \in X，$\epsilon $是一正数，称$X$的子集 $$ B(x_0, \epsilon) := \{x_0\in X \mid d(x_0, x)<\epsilon \} $$
为以$x_0$为心，$\epsilon$为半径的球形邻域.
设$U=B(x_1, \epsilon_1)\cap B(x_2, \epsilon_2)$. $\forall x\in U$，则$\epsilon_i-d(x, x_i)>0(i=1, 2)$. 记$\epsilon_x =min\{\epsilon_1-d(x, x_1), \epsilon_2-d(x, x_2)\}$，有$B(x, \epsilon_x)\subset U$. 于是
$$ U=\bigcap_{x\in U}B(x, \epsilon_x). $$ □规定$X$的子集族$\tau_d=\{U \mid U是若干个开球的并集\}$.
验证三条公理. （1），（2）均由定义可直接验证. 下证公理（3）.
设$U_{\alpha}, U_{\beta} \in \tau_d$，
$$U_{\alpha}=\bigcup_{\alpha}B(x_{\alpha}, \epsilon_{\alpha}), U_{\beta}=\bigcup_{\beta}B(x_{\beta}, \epsilon_{\beta})$$，则有
$$ \begin{align*} U_{\alpha}\cap U_{\beta}=(\bigcup_{\alpha}B(x_{\alpha}, \epsilon_{\alpha}))\cap \bigcup_{\beta}B(x_{\beta}, \epsilon_{\beta}) \\ =\bigcup_{\alpha, \beta}(B(x_{\alpha}, \epsilon_{\alpha})\cap B(x_{\beta}, \epsilon_{\beta})). \end{align*} $$由引理, $B(x_{\alpha}, \epsilon_{\alpha})\cap B(x_{\beta}, \epsilon_{\beta}) \in \tau_d$,
因此，$U_{\alpha}\cap U_{\beta} \in \tau_d$.
□拓扑“大小”的比较
设 $(X, \mathcal{T}_1)$ 和 $(X, \mathcal{T}_2)$ 是定义在同一集合 $X$ 上的两个拓扑空间.
如果 $\mathcal{T}_1$ 中的每一个开集都是 $\mathcal{T}_2$ 中的开集，则称拓扑 $\mathcal{T}_2$ 比拓扑 $\mathcal{T}_1$ 更精细（finer）.
用集合论的记号表示为：
$$ \mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2 $$在这种情况下，我们也称 $\mathcal{T}_1$ 比 $\mathcal{T}_2$ 更粗糙（coarser）.
会出现两个拓扑无法比较的情况.
拓扑空间中的基本概念
下述概念在实分析中均出现过，替换开集概念为拓扑空间中的开集即可.
- 闭集
- 领域、内点和内部
- 聚点和闭包
- 序列收敛性
重要性质
- $X$与$\emptyset$都是闭集；
- 任意多个闭集的交集都是闭集；
- 有限个闭集的并集是闭集.
- 若$A \subset B$，则$A^{\circ} \subset B^{\circ}$；
- $A^{\circ}$是包含在$A$中所有开集的并集，是包含在$A$中的最大开集；
- $A^{\circ}=A \iff A$是开集；
- $(A\cap B)^{\circ}=A^{\circ}\cap B^{\circ}$
- $(A\cup B)^{\circ} \supset A^{\circ}\cup B^{\circ}$