证明. 

第一部分：证明 $1 \implies 2$

（如果 $U$ 是开集，则对 $U$ 中的每一点，存在一个基元素包含该点并包含于 $U$。）

假设 $U \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$，即 $U$ 是开集。

根据基 $\mathcal{B}$ 生成拓扑 $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ 的定义，集合 $U$ 必须是 $\mathcal{B}$ 中一些元素的并集。

$$\exists I \text{ (指标集) } \text{ 和 } \{B_i\}_{i \in I} \subset \mathcal{B} \text{ 使得 } U = \bigcup_{i \in I} B_i$$

取 $U$ 中任意一点 $x$，$x \in U$。

由于 $x \in U$ 且 $U = \bigcup_{i \in I} B_i$，所以 $x$ 至少属于这个并集中的一个元素。

因此，存在某个指标 $j \in I$，使得 $x \in B_j$。

令 $B_x = B_j$。则 $B_x \in \mathcal{B}$（$B_j$ 取自 $\mathcal{B}$），且 $x \in B_x$。

又因为 $B_x = B_j$ 是形成 $U$ 的并集中的一个元素，所以 $B_x \subset \bigcup_{i \in I} B_i = U$。

综上，找到了一个 $B_x \in \mathcal{B}$ 使得 $x \in B_x \subset U$。

由于 $x$ 是 $U$ 中的任意一点，结论成立。

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第二部分：证明 $2 \implies 1$

（如果对 $U$ 中的每一点，都存在一个基元素包含该点并包含于 $U$，则 $U$ 是开集。）

假设 对任意 $x \in U$，存在 $B_x \in \mathcal{B}$，使得 $x \in B_x \subset U$。

证明 $U$ 是 $\mathcal{B}$ 中元素的并集。

考虑所有满足上述条件的 $B_x$ 的集合族 $\{B_x\}_{x \in U}$，并考察它们的并集 $V$:

$$V = \bigcup_{x \in U} B_x$$

要证 $U = V$。 - 证明 $U \subset V$： 对于 $U$ 中的任意一点 $y$，根据假设，存在 $B_y \in \mathcal{B}$ 使得 $y \in B_y$。 由于 $B_y$ 是并集 $V = \bigcup_{x \in U} B_x$ 中的一个元素，所以 $y \in V$。 因此，$U \subset V$。 - 证明 $V \subset U$： 对于并集 $V$ 中的任意一点 $z$，根据 $V$ 的定义，它必然属于某个 $B_{x'}$，其中 $x' \in U$。 即 $z \in B_{x'}$。 根据假设，每一个 $B_x$ 都满足 $B_x \subset U$。所以 $B_{x'} \subset U$。 因此，$z \in U$。 所以，$V \subset U$。

由于 $U \subset V$ 且 $V \subset U$，所以 $U = V$。

因此，$U = \bigcup_{x \in U} B_x$，即 $U$ 是 $\mathcal{B}$ 中一些元素的并集。

根据基 $\mathcal{B}$ 生成的拓扑 $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ 的定义，凡是 $\mathcal{B}$ 中元素的并集都是开集。

所以 $U \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$，即 $U$ 是开集。

综上，条件 $1$ 和条件 $2$ 相互蕴含，因此它们等价，命题得证。

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证明.  $$(i) \phi \in \mathcal{T}_A, A=X \cap A \in \mathcal{T}_A \\ (ii) U_{\lambda} \cap A, \lambda \in \Lambda, U_{\lambda} \in \mathcal{T}. \\ \bigcup_{\lambda \in \Lambda}(U_{\lambda} \cap A) =(\bigcup_{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda})\cap A \in \mathcal{T}_A, since \bigcup_{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda} \in \mathcal{T}. \\ (iii) (U_1 \cap A) \cap (U_2 \cap A) = (U_1 \cap U_2) \cap A \in \mathcal{T}_A, U_1, U_2 \in \mathcal{T}.$$ □

证明. 

$\forall$ 开集 $V \in Y$, $\exist$ 开集 $U \in X$, 使得 $V=U \cap Y$. $\mathcal{B}$ 为拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$ 的一个基, $\exist \mathcal{B}_U \subset \mathcal{B}$, $s.t.$ $U = \bigcup_{B \in \mathcal{B}_U}$. 因此

$$V = (\bigcup_{B \in \mathcal{B}_U} B) \cap Y = \bigcup_{B \in \mathcal{B}_U} (B \cap Y)$$

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证明. 

$\subset$ $:$ ($\mathcal{T}_B$ 包含 $(\mathcal{T}_A)_B$) 任取 $U \in (\mathcal{T}_A)_B$，则存在一个 $A$ 中的开集 $U_1 \in \mathcal{T}_A$，使得 $U = U_1 \cap B$。 由于 $U_1 \in \mathcal{T}_A$ 是 $A$ 中的开集，故存在一个 $X$ 中的开集 $U_2 \in \mathcal{T}$，使得 $U_1 = U_2 \cap A$。 因此，

$$U = (U_2 \cap A) \cap B$$

由于 $B \subset A$，根据集合论的结合律和幂等律，有 $A \cap B = B$。

$$U = U_2 \cap (A \cap B) = U_2 \cap B$$

因为 $U_2 \in \mathcal{T}$ 是 $X$ 中的开集，所以 $U = U_2 \cap B$ 表明 $U$ 是 $B$ 中相对于 $X$ 拓扑 $\mathcal{T}$ 的开集。 因此，$U \in \mathcal{T}_B$。

$\supset$ $:$ ( $(\mathcal{T}_A)_B$ 包含 $\mathcal{T}_B$) 任取 $U \in \mathcal{T}_B$，则存在一个 $X$ 中的开集 $U_2 \in \mathcal{T}$，使得 $U = U_2 \cap B$。 令 $U_1 = U_2 \cap A$。由于 $U_2 \in \mathcal{T}$，根据子空间拓扑的定义，我们有 $U_1 \in \mathcal{T}_A$。 现在，将 $U$ 表示为 $U_1$ 与 $B$ 的交集：

$$U = U_2 \cap B$$

再次利用 $B \subset A$ 推出 $B = A \cap B$：

$$U = U_2 \cap (A \cap B) = (U_2 \cap A) \cap B$$

代入 $U_1$：

$$U = U_1 \cap B$$

因为 $U_1 \in \mathcal{T}_A$，所以 $U = U_1 \cap B$ 表明 $U$ 是 $B$ 中相对于 $A$ 拓扑 $\mathcal{T}_A$ 的开集。 因此，$U \in (\mathcal{T}_A)_B$

综合 (1) 和 (2)，得证 $(\mathcal{T}_A)_B = \mathcal{T}_B$。

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证明. 

取 $A$ 中任意两个不等的点 $a, b \in A$，且 $a \ne b$。

因为 $X$ 是 Hausdorff 空间，存在 $X$ 中 $a$ 的邻域 $U_a$ 和 $b$ 的邻域 $U_b$，使得 $U_a \cap U_b = \emptyset$ 。

$U_a \cap A$ 是 $a$ 在 $A$ 中的一个邻域，$U_b \cap A$ 是 $b$ 在 $A$ 中的一个邻域。

它们的交集为：

$$(U_a \cap A) \cap (U_b \cap A) = (U_a \cap U_b) \cap A = \emptyset \cap A = \emptyset$$

因此 $A$ 是 Hausdorff 空间。

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证明. 

取 $X \times Y$ 中任意两个不等的点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in X \times Y$ 。

因为 $(x_1, y_1) \ne (x_2, y_2)$，所以 要么 $x_1 \ne x_2$，要么 $y_1 \ne y_2$。

假设 $x_1 \ne x_2$。

因为 $X$ 是 Hausdorff 空间，存在 $x_1$ 的邻域 $U_{x_1}$ 和 $x_2$ 的邻域 $U_{x_2}$，使得 $U_{x_1} \cap U_{x_2} = \emptyset$。

则 $U_{x_1} \times Y$ 是 $(x_1, y_1)$ 在 $X \times Y$ 中的一个邻域，$U_{x_2} \times Y$ 是 $(x_2, y_2)$ 在 $X \times Y$ 中的一个邻域。

它们的交集为：

$$(U_{x_1} \times Y) \cap (U_{x_2} \times Y) = (U_{x_1} \cap U_{x_2}) \times Y = \emptyset \times Y = \emptyset$$

因此 $X \times Y$ 是 Hausdorff 空间。

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