内点、闭包、边界点

内部、闭包和边界(Interior, Closure and Boundary)

内部和闭包 (Interior&Closure)

Definition 1.2.1 内部和闭包 ¶（1）设 $X$ 是一个拓扑空间，$A \subset X$ 是一个子集。$A$ 的内部，记为 $A^{\circ}$ 或 $\text{int}(A)$，是包含在 $A$ 中的所有开集的并集。$$A^{\circ}=\bigcup_{U~is~open, U\subset A}U$$等价描述 (Lemma):点 $y \in X$ 属于 $A^{\circ}$ 当且仅当存在一个开集 $U$，使得 $y \in U \subset A$。（2）设 $X$ 是一个拓扑空间，$A \subset X$ 是一个子集。$A$ 的闭包，记为 $\overline{A}$ 或 $\text{cl}(A)$，是包含 $A$ 的所有闭集的交集。$$\overline{A}=\bigcap_{V~is~closed, A\subset V}V$$等价描述 (Lemma):点 $y \in X$ 属于 $\overline{A}$ 当且仅当 $y$ 的每一个邻域都与 $A$ 相交（即 $U \cap A \ne \emptyset$）。

性质 (Prop.):

$A^{\circ}$ 是包含在 $A$ 中的最大的开集。
$A^{\circ}$ 本身是一个开集。
$(A^{\circ})^{\circ}= A^{\circ}$ (内部的内部等于内部)。
$A$ 是开集当且仅当 $A = A^{\circ}$。
$\overline{A}$ 是包含 $A$ 的最小的闭集。
$\overline{A}$ 本身是一个闭集。
$\overline{\overline{A}} = \overline{A}$ (闭包的闭包等于闭包)。
$A$ 是闭集当且仅当 $A = \overline{A}$。
极限点关系： $\overline{A} = A \cup A'$，其中 $A'$ 是 $A$ 的所有极限点（或聚点）的集合。

一些有用的推论-1设 $X$ 是一个拓扑空间，$A, B \subset X$ 是其子集。以下性质成立：(i) 如果 $U$ 在 $X$ 中是开集，$U \subset A$，则 $U \subset A^{\circ}$。(ii) 如果 $V$ 在 $X$ 中是闭集，$V \supset A$，则 $V \supset \overline{A}$。(iii) $A \subset B \implies A^{\circ} \subset B^{\circ}$。(iv) $A \subset B \implies \overline{A} \subset \overline{B}$。(v) $A$ 是开集 $\iff A = A^{\circ}$。(vi) $A$ 是闭集 $\iff A = \overline{A}$。

证明. (iii) 的证明 (Pf.):$$A^{\circ} \text{ 是开集, } A^{\circ} \subset A \subset B \xrightarrow{(\text{i})} A^{\circ} \subset B^{\circ}$$(iv) 的证明 (Pf.):$$\overline{B} \text{ 是闭集, } \overline{B} \supset B \supset A \xrightarrow{(\text{ii})} \overline{B} \supset \overline{A}$$(v) 的证明 (Pf.):$$\text{"}\implies\text{"}: \text{Since } A \text{ is open, and } A \subset A \xrightarrow{(\text{i})} A \subset A^{\circ} \text{ (且 } A^{\circ} \subset A \text{ 恒成立)}$$$$\text{"}\impliedby\text{": } A^{\circ} \text{ is open, and } A = A^{\circ} \implies A \text{ is open. }\square$$□

Remark

$A^{\circ}$是$A$中最大的开集。
$\overline{A}$是包含$A$的最小的闭集。

稠密集、可分空间与内部/闭包的等价引理

Definition 稠密集 (Dense Set)¶设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集。如果 $A$ 的闭包等于整个空间 $X$，即 $\overline{A} = X$，则称 $A$ 是 $X$ 的一个稠密集（dense set）。

Definition 可分空间 (Separable Space) ¶ 一个拓扑空间 $X$，如果它拥有一个 可数的稠密集 （countable dense subset），则称 $X$ 是一个 可分空间 （separable space）。

示例 (Eg.):

在 $\mathbb{R}_{fc}$（有限补拓扑下的实数集）中，每一个无限子集 $A$ 都是稠密集，即 $\overline{A} = \mathbb{R}$。

内部与闭包的等价引理

引理设 $X$ 是一个拓扑空间，$A \subset X$，$y \in X$。(i) $y \in A^{\circ} \iff$ 存在一个开集 $U$，使得 $y \in U \subset A$。(ii) $y \in \overline{A} \iff$ $y$ 的每一个邻域都与 $A$ 相交。

证明. (i) $\implies$：$y \in A^{\circ}$ 意味着 $y$ 属于包含在 $A$ 内的所有开集的并集，故 $y$ 必属于其中某个开集 $U$ 且 $U \subset A$。(i) $\impliedby$：显然 (若 $y$ 被包含在 $A$ 内的开集 $U$ 包围，则 $y$ 属于包含在 $A$ 内的最大开集 $A^{\circ}$)。(ii) $\implies$：(反证法) 假设 $y \in \overline{A}$ 但存在邻域 $U$ 使得 $U \cap A = \emptyset$。则 $X-U$ 是一个包含 $A$ 的闭集，故 $\overline{A} \subset X-U$，与 $y \in \overline{A}$ 矛盾。(ii) $\impliedby$：(反证法) 假设 $y \notin \overline{A}$。则存在一个包含 $A$ 的闭集 $V_0$ 且 $y \notin V_0$。令 $U = X-V_0$，则 $U$ 是 $y$ 的一个开邻域，且 $U \cap A = \emptyset$，与假设矛盾。□

边界 (Boundary)

Definition 1.2.5¶设 $X$ 是一个拓扑空间，$A \subset X$ 是一个子集。$A$ 的边界，记为 $\partial A$，定义为 $A$ 的闭包与 $A$ 的内部的差集：$$\partial A = \overline{A} - A^{\circ}$$等价描述 (Lemma):点 $y \in X$ 属于 $\partial A$ 当且仅当 $y$ 的任何邻域都同时与 $A$ 和 $X-A$ 相交。

命题设 $X$ 是一个拓扑空间，且 $B \subset A \subset X$。令 $\overline{B}_A$ 和 ${B_A}^{\circ}$ 分别表示 $B$ 在子空间 $A$ 中的闭包和内部；令 $\overline{B}$ 和 $B^{\circ}$ 分别表示 $B$ 在全空间 $X$ 中的闭包和内部。则以下关系成立：(1) 子空间闭包与全空间闭包的关系：$$\overline{B}_A = \overline{B} \cap A$$(2) 子空间内部与全空间闭包的关系：$${B_A}^{\circ} = A - \overline{(A-B)}$$

证明. (1) 证明 $\overline{B}_A = \overline{B} \cap A$证明 “$\subset$"：$\forall x \in \overline{B}_A$，则 $x \in A$。取 $X$ 中 $x$ 的任意邻域 $U$。$U \cap A$ 是 $x$ 在 $A$ 中的邻域。因 $x \in \overline{B}_A$，故 $(U \cap A) \cap B \ne \emptyset$。因 $B \subset A$，所以 $U \cap B \ne \emptyset$。故 $x \in \overline{B}$。因此 $x \in \overline{B} \cap A$。证明 “$\supset$"：$\forall x \in \overline{B} \cap A$。取 $x$ 在 $A$ 中的任意邻域 $U_A = U \cap A$ ($U$ 在 $X$ 中开)。因 $x \in \overline{B}$，故 $U \cap B \ne \emptyset$。因 $B \subset A$，故 $U_A \cap B = (U \cap A) \cap B = U \cap B \ne \emptyset$。因此 $x \in \overline{B}_A$。(2) 证明 ${B_A}^{\circ} = A - \overline{(A-B)}$证明 (Pf.):利用补集关系：${B_A}^{\circ} = A - \overline{(A-B)}_A$。应用结论 (1)：$\overline{(A-B)}_A = \overline{(A-B)} \cap A$。故 ${B_A}^{\circ} = A - (\overline{(A-B)} \cap A)$。根据集合论， $A - (C \cap A) = A - C$。最终 ${B_A}^{\circ} = A - \overline{(A-B)}$。□

提醒 (Remark)： 子空间内部与全空间内部的关系不一定成立，即 ${B_A}^{\circ} \ne B^{\circ} \cap A$。

反例 (Counterexample):

$X = \mathbb{R}_{std}, A = B = \mathbb{Q}$。
${B_A}^{\circ} = \mathbb{Q}$。
$B^{\circ} \cap A = \dot{\mathbb{Q}} \cap \mathbb{Q} = \emptyset \cap \mathbb{Q} = \emptyset$。
故 ${B_A}^{\circ} \ne B^{\circ} \cap A$。

一些有用的推论-2设 $X$ 是一个拓扑空间，$A, B \subset X$。则以下恒等式和包含关系成立：(i) 补集的内部 (Interior of the complement):$$\text{int}(X-A) = X - \overline{A}$$$${(X-A)}^{\circ} = X - \overline{A}$$(ii) 补集的闭包 (Closure of the complement):$$\overline{X-A} = X - A^{\circ}$$(iii) 内部的交集 (Intersection of interiors):$$A^{\circ} \cap B^{\circ} = {(A \cap B)}^{\circ}}$$(iv) 内部的并集 (Union of interiors):$$A^{\circ} \cup B^{\circ} \subset \dot{A \cup B}$$(v) 闭包的交集 (Intersection of closures):$$\overline{A} \cap \overline{B} \supset \overline{A \cap B}$$(vi) 闭包的并集 (Union of closures):$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

证明. (i) ${(X-A)}^{\circ} = X - \overline{A}$证明 “$\subset$"： $\forall x \in {(X-A)}^{\circ}$ (即 $x \in (X-A)^\circ$)，则存在 $x$ 的邻域 $U$，使得 $x \in U \subset X-A$。因此 $U \cap A = \emptyset$。根据内部/闭包的等价引理 (previous lemma: $y \in \overline{A} \iff$ 任何邻域交 $A$ 不为空)，$x$ 不属于 $\overline{A}$，即 $x \in X - \overline{A}$。证明 “$\supset$"：$\forall x \in X - \overline{A}$。因为 $\overline{A}$ 是闭集，所以 $X - \overline{A}$ 是开集。且 $X - \overline{A} \subset X-A$。根据内部的定义（${(X-A)}^{\circ}$ 是包含在 $X-A$ 中的最大的开集），$X - \overline{A}$ 必须包含在 ${(X-A)}^{\circ}$ 中。因此 $X - \overline{A} \subset {(X-A)}^{\circ}$。(iii) $A^{\circ} \cap B^{\circ} = {(A \cap B)}^{\circ}}$证明 “$\subset$"： $\forall x \in A^{\circ} \cap B^{\circ}$。存在 $x$ 的邻域 $U_1$ 和 $U_2$，使得 $x \in U_1 \subset A$ 且 $x \in U_2 \subset B$。因此 $x \in U_1 \cap U_2 \subset A \cap B$。由于 $U_1$ 和 $U_2$ 都是开集，它们的交集 $U_1 \cap U_2$ 也是开集。根据内部的等价引理，$x \in {(A \cap B)}^{\circ}}$。证明 “$\supset$"：因为 $A \cap B \subset A$，根据内部运算的单调性，${(A \cap B)}^{\circ} \subset A^{\circ}$。同理，因为 $A \cap B \subset B$，所以 ${(A \cap B)}^{\circ} \subset B^{\circ}$。因此，${(A \cap B)}^{\circ}$ 包含于它们的交集：${(A \cap B)}^{\circ} \subset A^{\circ} \cap B^{\circ}$。(iv) $A^{\circ} \cup B^{\circ} \subset {(A \cup B)}^{\circ}$证明 “$\subset$"：因为 $A \subset A \cup B$，根据内部运算的单调性，$A^{\circ} \subset \dot{A \cup B}$。同理，因为 $B \subset A \cup B$，所以 $B^{\circ} \subset {(A \cup B)}^{\circ}$。因此，它们的并集 $A^{\circ} \cup B^{\circ}$ 包含于 ${(A \cup B)}^{\circ}$。□

注意： 对于 (iv)， 等号不一定成立 对于 (v)， 等号不一定成立。

反例 (Eg.)： (说明 (iv) 中不取等号)

设 $X = \mathbb{R}_{std}$（标准拓扑下的实数集）。令 $A=[-1,0]$，$B=(0,1]$。此时$A^{\circ}=(-1,0)$，$B^{\circ}=(0,1)$，因此$A^{\circ} \cup B^{\circ} = (-1,0) \cup (0,1)$。而$A\cup B=[-1,1]$，故 ${(A\cup B)}^{\circ}=(-1,1)$。显然$A^{\circ}\cup B^{\circ}\neq\dot{A\cup B}$，差了一个点 $\{0\}$。

再令 $A=\mathbb{Q}$（有理数集），$B=\mathbb{R}-\mathbb{Q}$（无理数集）。在标准拓扑下，$A^{\circ}=\emptyset$ 且 $B^{\circ}=\emptyset$，因此 $A^{\circ} \cup B^{\circ}=\emptyset$。但$A\cup B=\mathbb{R}$，所以 ${(A\cup B)}^{\circ}=\mathbb{R}$，同样说明了$A^{\circ}\cup B^{\circ}\neq {(A\cup B)}^{\circ}$。