封面画师：Mr.Cat
连续映射
设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间，$f: X \to Y$ 是一个映射。如果对于 $Y$ 中任意的开集 $V$，其原像 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中都是开集，则称 $f$ 是连续的（continuous）。
示例 (Eg.):
(1) 恒等映射 (Id): $Id: X \to X, x \mapsto x$ 是连续的。
(2) 常值映射 (C): $C: X \to Y, x \mapsto y_0$ 是连续的。
(3) 包含映射 ($\iota$): 设 $A \subset X$。$\iota: A \to X, a \mapsto a$ 是连续的。
(4) 投影映射 ($\pi_i$): $\pi_1: X \times Y \to X$ 和 $\pi_2: X \times Y \to Y$ 都是连续的。
Eg.
设 $f: X \to Y$ 是连续映射，$A \subset X$。则 $f$ 在 $A$ 上的限制 $f|_A: A \to Y$ 也是连续的。
- 证明 (Pf.): $f|_A$ 是 $f$ 和包含映射 $\iota: A \to X$ 的复合 $f|_A = f \circ \iota$。因为 $f$ 和 $\iota$ 都是连续的，所以 $f|_A$ 也是连续的。
连续性的判别
"$\implies$"： (连续 $\implies$ 基元素原像开) 基元素 $B$ 本身是开集，由连续定义知 $f^{-1}(B)$ 是开集。
"$\impliedby$"： (基元素原像开 $\implies$ 连续) 设 $V$ 是 $Y$ 中任意开集。 $V = \bigcup_i B_i$ ($B_i \in \mathcal{B}$)。则 $f^{-1}(V) = \bigcup_i f^{-1}(B_i)$。由假设，$f^{-1}(B_i)$ 都是开集，故其并集 $f^{-1}(V)$ 也是开集。因此 $f$ 连续。
□"$\implies$"： (连续 $\implies$ 闭集原像闭) 设 $C$ 是 $Y$ 中闭集，则 $Y-C$ 是开集。因为 $f$ 连续，$f^{-1}(Y-C) = X - f^{-1}(C)$ 是开集。故 $f^{-1}(C)$ 是闭集。
"$\impliedby$"： (闭集原像闭 $\implies$ 连续) 设 $V$ 是 $Y$ 中开集，则 $Y-V$ 是闭集。根据假设，$f^{-1}(Y-V)$ 是闭集。 $f^{-1}(V) = X - f^{-1}(Y-V)$ 是闭集的补集，故 $f^{-1}(V)$ 是开集。因此 $f$ 连续。
□示例 (Examples)
- 实变函数： $f: E^1 \to E^1$ (如 $x^n, e^x, \ln x, \sin x, \cos x, \dots$) 都是连续的。
- 多元函数： $f: E^1 \times E^1 \to E^1$ (如 $x+y, xy, x/y (y \ne 0), \dots$) 都是连续的。
积空间映射的连续性
设 $f: X \to Y_1 \times Y_2$ 的分量映射为 $f_1: X \to Y_1$ 和 $f_2: X \to Y_2$，即 $f(x) = (f_1(x), f_2(x))$。
则 $f$ 是连续的 $\iff$ $f_1$ 和 $f_2$ 都是连续的。
证明 “$\implies$” ( $f$ 连续 $\implies f_1, f_2$ 连续)
投影映射 $\pi_1: Y_1 \times Y_2 \to Y_1$ 和 $\pi_2: Y_1 \times Y_2 \to Y_2$ 都是连续的。
分量映射可表示为复合：$f_1 = \pi_1 \circ f$ 和 $f_2 = \pi_2 \circ f$。
因为连续映射的复合是连续的，故 $f_1$ 和 $f_2$ 都是连续的。
证明 “$\impliedby$” ( $f_1, f_2$ 连续 $\implies f$ 连续)
设 $\mathcal{B} = \{ U_1 \times U_2 \mid U_1 \in \mathcal{T}_{Y_1}, U_2 \in \mathcal{T}_{Y_2} \}$ 是积空间 $Y_1 \times Y_2$ 的一个基。
我们只需证明对于 $\forall U_1 \times U_2 \in \mathcal{B}$，其原像 $f^{-1}(U_1 \times U_2)$ 在 $X$ 中是开集。
原像可分解为：
$$f^{-1}(U_1 \times U_2) = f_1^{-1}(U_1) \cap f_2^{-1}(U_2)$$因为 $f_1$ 连续且 $U_1$ 开，所以 $f_1^{-1}(U_1)$ 是 $X$ 中的开集。
因为 $f_2$ 连续且 $U_2$ 开，所以 $f_2^{-1}(U_2)$ 是 $X$ 中的开集。
两个开集的交集 $f_1^{-1}(U_1) \cap f_2^{-1}(U_2)$ 仍然是 $X$ 中的开集。
根据基元素判别引理， $f$ 是连续的。
因此，$f$ 连续 $\iff f_1, f_2$ 连续。
□粘合引理 (The Pasting Lemma)
设 $X$ 是一个拓扑空间，且 $A, B$ 是 $X$ 中的两个闭集，满足 $A \cup B = X$。
假设 $f: A \to Y$ 和 $g: B \to Y$ 是两个连续映射，且对于 $\forall x \in A \cap B$，$f(x) = g(x)$。
则由此构造的映射 $h: X \to Y$ 是连续的。
$$h(x) = \begin{cases} f(x) & x \in A \\ g(x) & x \in B \end{cases}$$我们使用连续映射的闭集判别法。设 $C$ 是 $Y$ 中的任意闭集。
原像分解： $h^{-1}(C)$ 可以分解为 $f^{-1}(C)$ 和 $g^{-1}(C)$ 的并集：
$$h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C)$$验证 $f^{-1}(C)$ 是 $X$ 中的闭集：
- 因为 $f: A \to Y$ 连续，所以 $f^{-1}(C)$ 是子空间 $A$ 中的闭集。
- 根据子空间拓扑定义，存在 $X$ 中的闭集 $D_1$，使得 $f^{-1}(C) = D_1 \cap A$。
- 由于 $D_1$ 是 $X$ 中的闭集，且 $A$ 是命题条件给定的 $X$ 中的闭集，故 $f^{-1}(C)$ 是两个 $X$ 中闭集的交集，因此是 $X$ 中的闭集。
验证 $g^{-1}(C)$ 是 $X$ 中的闭集：
- 同理，因为 $g: B \to Y$ 连续，且 $B$ 是 $X$ 中的闭集，所以 $g^{-1}(C)$ 在 $X$ 中是闭集。
结论：
- $h^{-1}(C)$ 是 $X$ 中两个闭集的并集 $f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C)$。
- 因此 $h^{-1}(C)$ 是 $X$ 中的闭集。
- 故 $h$ 是连续的。
同胚
设 $X, Y$ 是拓扑空间 (topol. spaces)，映射 $f: X \rightarrow Y$ 是一个双射 (bijection)，其逆映射为 $f^{-1}: Y \rightarrow X$。
如果 $f$ 和 $f^{-1}$ 都是连续的 (continuous)，则称 $f$ 是一个同胚 (homeomorphism)。
如果 $X$ 和 $Y$ 之间存在一个同胚 (homeomorphism)，则称 $X$ 和 $Y$ 同胚 (homeomorphic)，记作 $X \cong Y$。
Remark:
(i) $\forall U$ 是 $X$ 中的开集 (open in $X$)，则 $f(U)$ 是 $Y$ 中的开集 (open in $Y$)。
解释： 因为 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ 是连续的 (continuous)，所以 $(f^{-1})^{-1}(U)$ 是 $Y$ 中的开集 (open in $Y$)，即 $f(U)$ 是 $Y$ 中的开集 (open in $Y$)。
(ii) $\forall V$ 是 $Y$ 中的开集 (open in $Y$)，则 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是开集 (open in $X$)。
解释： 因为 $f: X \rightarrow Y$ 是连续的 (continuous)，所以 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是开集 (open in $X$)。
同胚的性质
设 $f: X \stackrel{\cong}{\longrightarrow} Y$ 是一个同胚。
- $f$ 是 $X$ 中的点和 $Y$ 中的点之间的双射 (bijection)。
- $f$ 诱导了 $X$ 中的开集和 $Y$ 中的开集之间的双射。
Remark： “$\cong$” 是拓扑空间 (topol. spaces) 之间的一个等价关系 (equivalence relation)。
(i) $X \cong X$ (自反性)。
(ii) $X \cong Y \Rightarrow Y \cong X$ (对称性)。
(iii) $X \cong Y, Y \cong Z \Rightarrow X \cong Z$ (传递性)。
Remark： 同胚$f$是开映射并且也是闭映射。
开映射：将开集映到开集；
闭映射：将闭集映到闭集。
设 $X, Y$ 是拓扑空间 (topol. space)。
$f: X \rightarrow Y$ 是一个同胚 (homeomorphism)
$$\iff$$$f$ 是双射 (bijective)，连续 (continuous) 且是开映射 (open)
$$\iff$$$f$ 是双射 (bijective)，连续 (continuous) 且是闭映射 (closed)
(注：)
$$f \text{ 是同胚} \iff \begin{cases} f \text{ 是双射} \\ f \text{ 连续} \\ f^{-1} \text{ 连续} \end{cases}$$$$f \text{ 是双射、连续} \text{ 且是开映射}$$$$f \text{ 是双射、连续} \text{ 且是闭映射}$$$f$ 是同胚 $\Rightarrow f$ 是双射、连续且开映射：
设 $f$ 是同胚。则 $f$ 是双射且连续。 要证 $f$ 是开映射。 $\forall$ 开集 $U$ 在 $X$ 中，因为 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ 是连续的，所以 $(f^{-1})^{-1}(U)$ (即 $f(U)$) 在 $Y$ 中是开集。因此 $f$ 是一个开映射 (open map)。
$f$ 是双射、连续且开映射 $\Rightarrow f$ 是同胚：
设 $f$ 是双射、连续且开映射。 要证 $f$ 是同胚，只需证 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ 连续。 $\forall$ 开集 $U$ 在 $X$ 中，因为 $f: X \rightarrow Y$ 是开映射，所以 $f(U)$ 在 $Y$ 中是开集。 又 $f(U) = (f^{-1})^{-1}(U)$。 根据连续性的定义， $f^{-1}: Y \rightarrow X$ 是连续的。
□$\forall y_1, y_2 \in Y$，且 $y_1 \neq y_2$。 由于 $f$ 是双射，则 $f^{-1}(y_1) \neq f^{-1}(y_2)$。
思路：
- 设 $x_1 = f^{-1}(y_1)$， $x_2 = f^{-1}(y_2)$。由于 $X$ 是 Hausdorff 空间，存在 $x_1$ 和 $x_2$ 在 $X$ 中的不相交开邻域 $U_1$ 和 $U_2$。
- 因为 $f$ 是同胚，所以 $f$ 是开映射。
- $V_1 = f(U_1)$ 和 $V_2 = f(U_2)$ 是 $Y$ 中的开集。
- $y_1 = f(x_1) \in f(U_1) = V_1$， $y_2 = f(x_2) \in f(U_2) = V_2$。
- 由于 $U_1 \cap U_2 = \emptyset$，且 $f$ 是双射，所以 $V_1 \cap V_2 = f(U_1) \cap f(U_2) = f(U_1 \cap U_2) = f(\emptyset) = \emptyset$。
- 因此 $y_1$ 和 $y_2$ 有不相交的开邻域 $V_1$ 和 $V_2$，故 $Y$ 是 Hausdorff 空间。
拓扑性质 (topol. property)： 拓扑空间的一个性质，如果在同胚下保持不变 (preserved by homeomorphisms)，则称该性质为拓扑性质。
嵌入（Embedding）
注记 (Rmk.)： 嵌入映射是单射 (injective)。
设 $X, Y$ 是拓扑空间 (topol. spaces)。 $f: X \rightarrow Y$ 是一个嵌入 (embedding)
$$\iff$$$f$ 是内射 (injective)，连续 (continuous) 且开映射 (open)
$$\iff$$$f$ 是内射 (injective)，连续 (continuous) 且闭映射 (closed)
(注：) 这里的“开映射”和“闭映射”是指 $f: X \rightarrow f(X)$（视 $f(X)$ 为 $Y$ 的子空间）是开映射或闭映射。
合痕 (isotopy)
设 $f_0, f_1: S^1 \rightarrow E^3$ 是两个嵌入 (embeddings)。 如果存在一个连续映射 $F: S^1 \times [0, 1] \rightarrow E^3$，满足：
- $F(x, 0) = f_0(x)$
- $F(x, 1) = f_1(x)$
且对于每个 $t \in [0, 1]$，映射 $f_t = F(\cdot, t): S^1 \rightarrow E^3$ (其中 $x \mapsto F(x, t)$) 都是 $E^3$ 中的一个嵌入 (embedding)，则称 $f_0$ 和 $f_1$ 是同痕的 (isotopic)。
例 (Eg.)：
- 一个平凡的圆嵌入 (未打结的圆) 和一个三叶结 (Trefoil Knot) 不同痕。
- 图示中描绘了两个不同的但同痕的嵌入（一个平凡圆和另一个形状略有变化的平凡圆）。