封面画师：Novi
紧性
开覆盖 (Open Cover) 设 $X$ 是一个拓扑空间 (topol. space)，$A \subset X$。 $\mathcal{O}$ 是 $X$ 中的一组开集 (a collection of open sets of $X$)。 如果 $A$ 包含在 $\mathcal{O}$ 中所有开集的并集内，则 $\mathcal{O}$ 称为 $A$ 的一个开覆盖 (open cover)。
子覆盖 (Subcover) 如果 $\mathcal{O}$ 覆盖了 $A$，$\mathcal{O}'$ 是 $\mathcal{O}$ 的一个子族 (subcollection) 且 $\mathcal{O}'$ 也覆盖了 $A$，则 $\mathcal{O}'$ 是 $\mathcal{O}$ 的一个子覆盖 (subcover)。
紧致空间 (Compact Space) 一个拓扑空间 $X$ 是紧致的 (compact)，如果 $X$ 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖 (a finite subcover)。
例 (Eg.)：
$E^1$ 不是紧致的 (is not compact)。
证明： 考虑开覆盖 $\mathcal{O} = \{(-n, n) | n \in \mathbb{Z}^+\}$。 $\bigcup_{n=1}^{\infty} (-n, n) = E^1$，所以 $\mathcal{O}$ 是 $E^1$ 的一个开覆盖。 如果 $\mathcal{O}$ 有一个有限子覆盖 $\mathcal{O}' = \{(-n_1, n_1), \ldots, (-n_k, n_k)\}$。 令 $N = \max\{n_1, \ldots, n_k\}$。则 $\bigcup_{i=1}^{k} (-n_i, n_i) = (-N, N)$。 由于 $(-N, N) \neq E^1$（例如，点 $N+1$ 不被覆盖），故 $\mathcal{O}$ 没有有限子覆盖。 因此 $E^1$ 不是紧致的。
设 $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 是一个有限集，则 $X$ 上的任何拓扑都是紧致的 (is compact)。
证明： 设 $\mathcal{O}$ 是 $X$ 的任意开覆盖。对于 $\forall x_i \in X$，必存在 $U_i \in \mathcal{O}$ 使得 $x_i \in U_i$。由于 $X$ 只有 $n$ 个点，我们只需选择 $\{U_1, U_2, \ldots, U_n\}$ 这 $n$ 个开集即可覆盖 $X$。这是一个有限子覆盖。
$\mathbb{R}_{fc}$（具有共有限拓扑 (cofinite topology) 的实数集 $\mathbb{R}$）是紧致的 (is compact)。
证明： 设 $\mathcal{O}$ 是 $\mathbb{R}_{fc}$ 的一个开覆盖 (open cover)。 由于 $\mathcal{O}$ 覆盖了 $\mathbb{R}$，$\exists U \in \mathcal{O}$ 使得 $U \neq \emptyset$。 根据共有限拓扑的定义，非空开集 $U$ 的补集 $\mathbb{R} \setminus U$ 是有限集。 记 $\mathbb{R} \setminus U = \{y_1, y_2, \ldots, y_m\}$。 $\forall y_i \in \mathbb{R} \setminus U$ (即 $y_i$ 是未被 $U$ 覆盖的点)，由于 $\mathcal{O}$ 覆盖了 $\mathbb{R}$， $\exists V_i \in \mathcal{O}$ 使得 $y_i \in V_i$。 考虑 $\mathcal{O}' = \{V_1, V_2, \ldots, V_m, U\}$。$\mathcal{O}'$ 是 $\mathcal{O}$ 的一个有限子集（包含 $m+1$ 个元素）。
$$\bigcup_{i=1}^{m} V_i \cup U = (\mathbb{R} \setminus U) \cup U = \mathbb{R}$$因此 $\mathcal{O}'$ 是 $\mathcal{O}$ 的一个有限子覆盖。 所以 $\mathbb{R}_{fc}$ 是紧致的。
紧子集
设$X$是一个拓扑空间且紧的，$Y$是拓扑空间，$f: X \to Y$连续，则
$$ f(X)在Y中是紧的 $$*连续映射保持紧性
取任意一个 $f(X)$ 在 $Y$ 中的开覆盖 $\mathcal{O}$，即
$$ f(X)\subset \bigcup_{U\in\mathcal{O}} U, $$其中每个 $U$ 都是 $Y$ 中的开集。
由于 $f$ 连续，对任意 $U\in\mathcal{O}$，其原像 $f^{-1}(U)$ 是 $X$ 中的开集。于是
$$ \{,f^{-1}(U)\mid U\in\mathcal{O},\} $$是一族 $X$ 中的开集，并且它覆盖 $X$：对任意 $x\in X$，有 $f(x)\in f(X)\subset \bigcup_{U\in\mathcal{O}}U$，因此存在某个 $U\in\mathcal{O}$ 使得 $f(x)\in U$，从而 $x\in f^{-1}(U)$。故
$$ X\subset \bigcup_{U\in\mathcal{O}} f^{-1}(U). $$因为 $X$ 紧，上述开覆盖存在有限子覆盖：存在 $U_1,\dots,U_n\in\mathcal{O}$，使得
$$ X=\bigcup_{i=1}^n f^{-1}(U_i). $$两边取 $f$ 的像，得
$$ f(X)=f!\left(\bigcup_{i=1}^n f^{-1}(U_i)\right) = \bigcup_{i=1}^n f\bigl(f^{-1}(U_i)\bigr) \subset \bigcup_{i=1}^n U_i. $$所以 $U_1,\dots,U_n$ 是 $\mathcal{O}$ 的一个有限子覆盖。
因此，任意 $f(X)$ 的开覆盖都有有限子覆盖，说明 $f(X)$ 在 $Y$ 中紧.
□几个性质
- 紧空间上的闭子集是紧的
- Hausdorff空间的紧子集是闭的
- 紧且 Hausdorff 的拓扑空间中，一个子集当且仅当它是闭集时才是紧的。
若映射 $$ f: X \to Y $$ 是连续的双射，则 $f$ 是一个同胚（homeomorphism）。
要证明 $f$ 是同胚，只需证明 $f^{-1}$ 连续。
等价地，只需证明 $f$ 是一个闭映射。
设 $C \subset X$ 是闭集。
因为 $X$ 紧，且 $C$ 是 $X$ 的闭子集，所以
由于 $f$ 连续，紧集在连续映射下的像仍然紧，因此
又因为 $Y$ 是 Hausdorff 空间，紧集在 Hausdorff 空间中必为闭集，所以
因此，$f$ 将任意闭集映为闭集，即 $f$ 是闭映射。
结合 $f$ 连续且为双射，可得 $f^{-1}$ 连续，从而 $f$ 是同胚。
□若映射 $$ f: X \to Y $$ 是连续且单射（injective）的，则 $f$ 是一个嵌入（embedding）。
要证明 $f$ 是嵌入，只需证明
$$ f: X \to f(X) $$是一个同胚。
由于 $f$ 是连续的双射，从 $X$ 到 $f(X)$，且 $f(X)$ 作为 $Y$ 的子空间仍是 Hausdorff 空间，因此只需证明 $f$ 是闭映射。
设 $C \subset X$ 是闭集。
因为 $X$ 紧，且 $C$ 是 $X$ 的闭子集，所以
$$ C \text{ 在 } X \text{ 中是紧的。} $$由于 $f$ 连续，紧集在连续映射下的像仍然紧，因此
$$ f(C) \text{ 在 } f(X) \text{ 中是紧的。} $$又因为 $f(X)$ 是 Hausdorff 空间，紧集在 Hausdorff 空间中必为闭集，所以
$$ f(C) \text{ 在 } f(X) \text{ 中是闭的。} $$因此，$f$ 将任意闭集映为闭集，即
$$ f: X \to f(X) $$是闭映射。
结合 $f$ 连续且为双射，可得其逆映射连续，从而
$$ f: X \to f(X) $$是同胚。
因此 $f$ 是一个嵌入。
□设 $X$ 是一个 Hausdorff 拓扑空间，$\{C_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ 是 $X$ 中的一族紧子集。
则
在 $X$ 中是紧的。
由于 $X$ 是 Hausdorff 空间，而每个 $C_\lambda$ 都是紧的，因此
$$ C_\lambda \text{ 在 } X \text{ 中是闭集。} $$于是有
$$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda $$是 $X$ 中闭集的交，因此仍是闭集。
任取某个固定的 $\lambda_0 \in \Lambda$，显然有
$$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda \subset C_{\lambda_0}. $$由于 $C_{\lambda_0}$ 是紧空间，而
$$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda $$是 $C_{\lambda_0}$ 中的闭子集，所以
$$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda $$在 $C_{\lambda_0}$ 中是紧的。
而紧性在子空间意义下保持，因此
$$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda $$在 $X$ 中也是紧的。
□设 $X,Y$ 是拓扑空间，则
$$ X \times Y \text{ 是紧的 } \Longleftrightarrow X \text{ 和 } Y \text{ 都是紧的。} $$$\Rightarrow$:
设
$$ X \times Y \text{ 是紧的。} $$考虑投影映射
$$ \pi_1: X \times Y \to X,\quad (x,y)\mapsto x, $$$$ \pi_2: X \times Y \to Y,\quad (x,y)\mapsto y. $$显然 $\pi_1,\pi_2$ 都是连续且满射。
由于紧集在连续映射下的像仍然是紧的，因此
$$ X=\pi_1(X\times Y),\quad Y=\pi_2(X\times Y) $$都是紧的。
$\Leftarrow$:
现在设
$$ X \text{ 和 } Y \text{ 都是紧的。} $$令 $\mathcal{O}$ 是 $X\times Y$ 的一个开覆盖。
第一步：固定 $x\in X$，构造 $W_x$
由于
$$ \{x\}\times Y $$与 $Y$ 同胚，因此是紧的。于是存在有限个开集
$$ W_x \subset \mathcal{O} $$使得
$$ \{x\}\times Y \subset \bigcup W_x. $$对任意 $y\in Y$，因为 $(x,y)\in \bigcup W_x$，存在
$$ U_y \times V_y \subset W_x $$使得
$$ (x,y)\in U_y \times V_y, $$其中 $U_y$ 是 $X$ 中 $x$ 的邻域，$V_y$ 是 $Y$ 中 $y$ 的邻域。
由于
$$ \{V_y \mid y\in Y\} $$是 $Y$ 的一个开覆盖，而 $Y$ 紧，存在有限子覆盖
$$ Y=\bigcup_{j=1}^n V_{y_j}. $$令
$$ R_x=\bigcap_{j=1}^n U_{y_j}, $$则 $R_x$ 是 $X$ 中的开集，且 $x\in R_x$。
并且有
$$ R_x \times Y \subset \bigcup W_x. $$第二步：利用 $X$ 的紧性
由上述构造，
$$ \{R_x \mid x\in X\} $$是 $X$ 的一个开覆盖。由于 $X$ 紧，存在有限个点
$$ x_1,\dots,x_m \in X $$使得
$$ X=\bigcup_{i=1}^m R_{x_i}. $$于是
$$ X\times Y = \left(\bigcup_{i=1}^m R_{x_i}\right)\times Y = \bigcup_{i=1}^m (R_{x_i}\times Y) \subset \bigcup_{i=1}^m \bigcup W_{x_i}. $$右端是 $\mathcal{O}$ 的有限子集的并，因此 $\mathcal{O}$ 存在有限子覆盖。
由紧性的定义可知
$$ X\times Y \text{ 是紧的。} $$ □设 $X_i$ 是拓扑空间，$i=1,2,\dots,n$。则
$$ X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \text{ 是紧的} $$当且仅当
$$ X_i \text{ 是紧的}, \quad \forall\, i=1,2,\dots,n. $$Lebesgue引理
设 $(X,d)$ 是一个紧致度量空间，$\mathcal O$ 是 $X$ 的一个开覆盖。
则存在一个常数
使得对任意 $x\in X$，都存在某个 $U\in\mathcal O$，满足
$$ B(x,\varepsilon)\subset U. $$备注（Remark）
这里的 $\varepsilon$ 只依赖于 $(X,d)$ 和开覆盖 $\mathcal O$，
与具体点 $x\in X$ 无关。
该常数 $\varepsilon$ 称为 Lebesgue 数（Lebesgue constant / Lebesgue number）。
一点紧致化
设 $X$ 是一个拓扑空间。称 $X$ 是局部紧的（locally compact），如果对任意 $x\in X$，存在一个紧子集 $C\subset X$，使得
$$ x \in \operatorname{int}(C). $$等价地，$X$ 是局部紧的，当且仅当：
对任意 $x\in X$，存在一个开集 $U$ 和一个紧集 $C$，使得
$$ x \in U \subset C. $$所有紧空间都是局部紧的； $E^n$是局部紧的，$\forall x \in E^n$，$C=B(x,1), U=B(x,1)$
设 $(X,\mathcal T)$ 是一个 Hausdorff 拓扑空间，取一点 $\infty\notin X$，令
$$ Y = X \cup \{\infty\}. $$定义 $Y$ 上的拓扑
$$ \mathcal T_\infty = \mathcal T \,\cup\, \{\,Y\setminus C \mid C \text{ 是 } X \text{ 中的紧子集}\,\}. $$则有以下结论：
(1) $(Y,\mathcal T_\infty)$ 是一个拓扑空间
(2) $X$ 从 $(Y,\mathcal T_\infty)$ 继承的子空间拓扑与原拓扑一致，即
$$ (\mathcal T_\infty)_X = \mathcal T. $$(3) $(Y,\mathcal T_\infty)$ 是紧的
(4) 若 $(X,\mathcal T)$ 是局部紧的，则 $(Y,\mathcal T_\infty)$ 是 Hausdorff 空间
(5) 若 $(X,\mathcal T)$ 是非紧的，则
$$ X \subsetneq Y, $$即新加入的一点 $\infty$ 不是多余的
备注（Remark）
该构造称为 一点紧化（one-point compactification） 或 Alexandroff 紧化。
当 $X$ 是局部紧 Hausdorff 空间时，$(Y,\mathcal T_\infty)$ 是一个 紧 Hausdorff 空间，且 $X$ 是 $Y$ 的一个稠密开子空间。