连通性

连通空间

Definition 4.1.1 连通空间¶设 $X$ 是一个拓扑空间。如果存在非空且不交的开集 $U,V \subset X$，使得$$ U \cap V = \varnothing, \qquad U \cup V = X, $$则称 $X$ 是不连通的（disconnected），并称集合对$$ \{U,V\} $$为 $X$ 的一个分离（separation）。如果不存在这样的开集对，则称 $X$ 是连通的（connected）。

e.g.

平凡拓扑的实数空间
$$\mathbb{R}$$
是连通的。 基为所有区间 $[a,b]$（$a 的拓扑的实数集
$$\mathbb{R}$$
是不连通的。

定理 1设 $X$ 是一个拓扑空间，则$$ X \text{ 不连通} \;\Longleftrightarrow\; \text{存在一个非空、既开又闭且真包含于 } X \text{ 的子集 } A \subset X. $$

证明. $\Rightarrow$:若 $X$ 不连通，则存在一对分离$$ U,V \subset X $$满足$$ U \neq \varnothing,\quad V \neq \varnothing,\quad U \cap V = \varnothing,\quad U \cup V = X. $$此时 $U$ 是开集，且$$ U^c = V $$也是开集，因此 $U$ 同时是闭集。又因为 $U \neq \varnothing$ 且 $U \neq X$，所以 $U$ 是一个非空、既开又闭且真包含于 $X$ 的子集。$\Leftarrow$:反之，设存在$$ A \subset X $$满足$$ A \neq \varnothing,\quad A \neq X, $$且 $A$ 既是开集又是闭集。令$$ V = X \setminus A, $$则 $V$ 也是非空开集，并且$$ A \cap V = \varnothing,\qquad A \cup V = X. $$因此 $\{A,V\}$ 构成 $X$ 的一个分离，说明 $X$ 不连通。□

例：$\mathbb{E}^1$ 的连通性：

证明. 设$$ \mathbb{E}^1 $$表示带通常拓扑的一维欧氏空间。假设反设其不连通，则存在一个非空、既开又闭且真包含的子集$$ A \subset \mathbb{E}^1. $$取$$ b \in A,\qquad (b,+\infty)\cap A \neq \varnothing, $$并定义$$ d = \inf\{a \in A \mid a>b\}. $$由于 $A$ 在 $\mathbb{E}^1$ 中是闭集，可得$$ d \in A. $$于是$$ d>b,\qquad [b,d)\cap A = \varnothing, $$从而 $d$ 不是 $A$ 的内点，即$$ d \notin \operatorname{int}(A). $$这与 $A$ 是开集矛盾。因此假设不成立，$\mathbb{E}^1$ 必为连通空间。□

连通子集

Definition 4.1.2设 $X$ 是一个拓扑空间，$A \subset X$。称 $A$ 在 $X$ 中是连通的（或称 $A$ 是 $X$ 的一个连通子集），如果 $A$ 在其子空间拓扑下是连通的。也就是说，$A$ 在 $X$ 中连通，当且仅当不存在 $A$ 中的两个非空不交开集 $U,V$，使得$$ U \cap V = \varnothing, \qquad U \cup V = A. $$

设 $X$ 是一个拓扑空间，$A \subset X$。则 $A$ 在 $X$ 中不连通 当且仅当存在 $X$ 中的开集 $U,V$，满足$$ U \cap A \neq \varnothing,\qquad V \cap A \neq \varnothing, $$$$ A \subset U \cup V, $$并且$$ (U \cap A)\cap (V \cap A)=U\cap V\cap A=\varnothing. $$说明（Separation） 满足上述条件的开集对$$ \{U,V\} $$称为 $A$ 在 $X$ 中的一个分离（separation of $A$ in $X$）。直观理解 该引理说明：$A$ 在子空间拓扑下不连通$\Longleftrightarrow$可以用 $X$ 中的两个开集 把 $A$ “撕开”，并且这两个开集在 $A$ 内分别截到两块非空、互不相交的部分。这正是“子空间连通性”用 母空间开集 表述的等价刻画。

定理 2设 $X,Y$ 是拓扑空间，映射$$ f: X \to Y $$是连续的。若$$ X \text{ 是连通的}, $$则$$ f(X) \text{ 在 } Y \text{ 中是连通的。} $$

证明. 反设 $f(X)$ 在 $Y$ 中不连通。则存在一对分离 $\{U,V\}$，其中 $U,V$ 是 $Y$ 中的开集，满足$$ U \cap f(X) \neq \varnothing,\qquad V \cap f(X) \neq \varnothing, $$$$ U \cup V = f(X),\qquad U \cap V \cap f(X) = \varnothing. $$由于 $f$ 连续，$f^{-1}(U)$ 与 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集。又因为$$ U \cap f(X) \neq \varnothing,\qquad V \cap f(X) \neq \varnothing, $$可得$$ f^{-1}(U) \neq \varnothing,\qquad f^{-1}(V) \neq \varnothing. $$并且$$ f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) = f^{-1}(U \cap V) = \varnothing, $$以及$$ f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V) = f^{-1}(U \cup V) = f^{-1}(f(X)) = X. $$因此 $\{f^{-1}(U),f^{-1}(V)\}$ 构成 $X$ 的一个分离，这与 $X$ 连通矛盾。故假设不成立，$f(X)$ 必为连通的。□

**性质：**连通性随同胚传递。

引理设 $X$ 是一个拓扑空间，$A \subset B \subset X$。设 $\{U,V\}$ 是 $B$ 在 $X$ 中的一个分离，即$$ U,V \text{ 在 } X \text{ 中是开集},\qquad U \cap B \neq \varnothing,\quad V \cap B \neq \varnothing, $$$$ B \subset U \cup V,\qquad U \cap V \cap B = \varnothing. $$若$$ A \text{ 在 } X \text{ 中是连通的}, $$则必有$$ A \subset U \quad \text{或} \quad A \subset V. $$等价地，$$ A \cap U = \varnothing \quad \text{或} \quad A \cap V = \varnothing. $$

证明. 由于 $\{U,V\}$ 是 $B$ 在 $X$ 中的一个分离，有$$ U \cap B \neq \varnothing,\quad V \cap B \neq \varnothing, $$$$ B \subset U \cup V,\qquad U \cap V \cap B = \varnothing. $$反设$$ A \cap U \neq \varnothing \quad \text{且} \quad A \cap V \neq \varnothing. $$由于 $U,V$ 在 $X$ 中是开集，$A \cap U$ 与 $A \cap V$ 在 $A$ 的子空间拓扑中是开集。并且$$ (A \cap U) \cap (A \cap V) = A \cap (U \cap V) \subset A \cap (U \cap V \cap B) = \varnothing, $$同时$$ A \subset B \subset U \cup V \;\Longrightarrow\; A = (A \cap U) \cup (A \cap V). $$于是 $\{A \cap U,\, A \cap V\}$ 构成 $A$ 在 $X$ 中的一个分离，这与$$ A \text{ 在 } X \text{ 中连通} $$相矛盾。因此反设不成立，只能有$$ A \cap U = \varnothing \quad \text{或} \quad A \cap V = \varnothing. $$由 $B \subset U \cup V$ 立刻得到$$ A \cap U = \varnothing \;\Longleftrightarrow\; A \subset V, \qquad A \cap V = \varnothing \;\Longleftrightarrow\; A \subset U. $$故结论成立。□

如果 $B$ 被 $U$ 和 $V$ “撕成两块”，而 $A$ 又是 $B$ 里的一个连通部分，那么 $A$ 不可能横跨这两块，只能完整地落在其中一侧。

命题设 $X$ 是一个拓扑空间，$A \subset X$ 在 $X$ 中是连通的。若$$ A \subset B \subset \overline{A}, $$则$$ B \text{ 在 } X \text{ 中是连通的。} $$特别地，$$ \overline{A} \text{ 在 } X \text{ 中是连通的。} $$

证明. 反设 $B$ 在 $X$ 中不连通。则存在 $B$ 在 $X$ 中的一个分离 $\{U,V\}$，其中 $U,V$ 是 $X$ 中的开集，满足$$ U \cap B \neq \varnothing,\qquad V \cap B \neq \varnothing, $$$$ B \subset U \cup V,\qquad U \cap V \cap B = \varnothing. $$由于 $A \subset B$ 且 $A$ 在 $X$ 中是连通的，根据前述引理，必有$$ A \subset U \quad \text{或} \quad A \subset V. $$不妨设$$ A \subset V, $$等价地，$$ A \cap U = \varnothing. $$由 $U \cap B \neq \varnothing$，可取$$ x \in U \cap B. $$又因为$$ B \subset \overline{A}, $$所以$$ x \in \overline{A}. $$但 $x \in U$，而 $U$ 是开集且$$ U \cap A = \varnothing, $$这与 $x \in \overline{A}$ 矛盾。因此假设不成立，$B$ 必为连通的。特别地，取$$ B = \overline{A}, $$即可得 $\overline{A}$ 在 $X$ 中连通。□

连通集的“缝合能力”很强——只要一个集合 $B$ 被夹在 $A$ 与其闭包之间，就不可能把 $B$ 撕成两块；因此连通性在取闭包时保持不变。 $\overline{A}=A \cup A'$，$B=A \cup \{some limit points of A \}$

引理设 $X$ 是一个拓扑空间，$\{C_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ 是 $X$ 中的一族连通子集，并且满足$$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda \neq \varnothing. $$则$$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda $$在 $X$ 中是连通的。

证明. 反证，设$$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda $$在 $X$ 中不连通。则存在 $X$ 中的开集 $U,V$，构成其一个分离，即$$ U \cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda \neq \varnothing,\qquad V \cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda \neq \varnothing, $$$$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda \subset U \cup V, \qquad U \cap V \cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda = \varnothing. $$由于每个 $C_\lambda$ 在 $X$ 中是连通的，根据前述关于连通子集的引理，对每个 $\lambda\in\Lambda$，必有$$ C_\lambda \subset U \quad \text{或} \quad C_\lambda \subset V, $$等价地，$$ C_\lambda \cap V = \varnothing \quad \text{或} \quad C_\lambda \cap U = \varnothing. $$取$$ x \in \bigcap_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda, $$该点存在是由假设保证的。由于$$ x \in \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda \subset U \cup V, $$必有$$ x \in U \quad \text{或} \quad x \in V. $$不妨设$$ x \in U. $$则对任意 $\lambda\in\Lambda$，都有$$ x \in C_\lambda \cap U, $$从而$$ C_\lambda \cap U \neq \varnothing. $$因此不可能有 $C_\lambda \subset V$，只能是$$ C_\lambda \subset U. $$于是得到$$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda \subset U, $$从而$$ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda\right) \cap V = \varnothing, $$这与$$ V \cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda \neq \varnothing $$矛盾。矛盾说明假设不成立，因此$$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda $$在 $X$ 中是连通的。□

设 $X,Y$ 是拓扑空间，则$$ X \times Y \text{ 是连通的} \;\Longleftrightarrow\; X \text{ 和 } Y \text{ 都是连通的}. $$

证明. $\Rightarrow$：设$$ X \times Y \text{ 是连通的}. $$考虑投影映射$$ \pi_1: X \times Y \to X,\quad (x,y)\mapsto x, $$$$ \pi_2: X \times Y \to Y,\quad (x,y)\mapsto y. $$显然 $\pi_1,\pi_2$ 都是连续且满射。由于连续映射保持连通性，可得$$ X = \pi_1(X \times Y),\qquad Y = \pi_2(X \times Y) $$均为连通空间。$\Leftarrow$：现设$$ X \text{ 和 } Y \text{ 都是连通的}. $$任取一点$$ x_0 \in X. $$对任意 $y \in Y$，集合$$ X \times \{y\} $$与 $X$ 同胚，因此是连通的。定义$$ C_y = (\{x_0\} \times Y)\ \cup\ (X \times \{y\}). $$由于$$ (\{x_0\} \times Y) \cap (X \times \{y\}) = \{(x_0,y)\} \neq \varnothing, $$根据“有公共点的连通集并仍连通”的引理，得到$$ C_y \text{ 是连通的}. $$注意到$$ \bigcup_{y\in Y} C_y = X \times Y, $$且$$ \bigcap_{y\in Y} C_y = \{x_0\} \times Y \neq \varnothing. $$再次应用同一引理，可知$$ X \times Y $$是连通的。综上，$$ X \times Y \text{ 连通 } \Longleftrightarrow X \text{ 和 } Y \text{ 连通}. $$ □

连通分支

Definition 4.1.3 连通分支设 $X$ 是一个拓扑空间，$x,y\in X$。定义关系$$ x \sim_c y $$当且仅当存在 $X$ 的一个连通子集 $C_{x,y}$，使得$$ x,y \in C_{x,y}. $$关系 $\sim_c$ 是 $X$ 上的一个等价关系，即满足：自反性：$$x \sim_c x.$$对称性：$$x \sim_c y \;\Longrightarrow\; y \sim_c x.$$传递性：若$$x \sim_c y \quad \text{且} \quad y \sim_c z,$$，则$$x \sim_c z.$$由上述命题，$\sim_c$ 是一个等价关系。$\sim_c$ 的等价类称为 $X$ 的一个连通分支（或连通分量, connected component）。备注（Remark）(1) 任意一个连通子集都包含于某个连通分支中。(2) 拓扑空间 $X$ 是连通的，当且仅当$$ X \text{ 恰好只有一个连通分支}. $$

Lemma 1(连通性): $X$的连通分支是连通的。 pf: 取 $x_0 \in C$。根据连通分支的定义，对任意 $x \in C$，存在一个连通子集 $C_x \subset X$，使得
$$x_0,\, x \in C_x.$$
由连通分支的定义可知
$$C_x \subset C.$$
因此
$$C = \bigcup_{x \in C} C_x.$$
又注意到
$$\bigcap_{x \in C} C_x \supset \{x_0\} \neq \varnothing. $$
根据“有公共点的连通子集的并仍连通”这一引理，得到
$$C \text{ 是连通的。}$$

Lemma 2(极大性): 设 $C$ 是 $X$ 的一个连通分支，$A \subset X$ 在 $X$ 中连通，且$C \subset A.$则$A = C.$ **pf:**只需证明 $A \subset C$。任取
$$x_0 \in C.$$
由于 $A$ 连通且 $x_0 \in A$，对任意 $a \in A$，都有
$$x_0 \sim_c a.$$
由连通分支的定义可知
$$a \in C.$$
因此
$$A \subset C.$$
结合 $C \subset A$，得到
$$A = C.$$

Lemma 3(闭性): 设 $C$ 是 $X$ 的一个连通分支，则$C \text{ 在 } X \text{ 中是闭集。}$ pf:由引理 1，$C$ 是连通的，因此其闭包$\overline{C}$也是连通的。显然有$C \subset \overline{C}.$而 $C$ 是连通分支，按定义它是包含自身的最大连通子集，因此只能有$\overline{C} = C.$从而$C \text{ 是闭集。}$

道路连通

Definition 4.2.1 道路连通¶Path：设 $X$ 是一个拓扑空间。称映射$$ \alpha:[0,1]\to X $$为 $X$ 中的一条路径（path），如果 $\alpha$ 是连续映射。其中：$$ \alpha(0) \quad \text{称为起点}, \qquad \alpha(1) \quad \text{称为终点}. $$注意：路径不是仅仅指像集 $\alpha([0,1])$，而是包含参数化信息的映射本身。Path connected：在拓扑空间 $X$ 中，若对任意$$ x,y\in X, $$都存在一条路径$$ \alpha:[0,1]\to X $$满足$$ \alpha(0)=x,\qquad \alpha(1)=y, $$则称 $X$ 是路径连通的（path connected）。Path Connected Subset：设 $A\subset X$。若 $A$ 在其子空间拓扑下是路径连通的，则称 $A$ 是 $X$ 的一个路径连通子集。

命题$$ f:X\to Y $$是连续映射。若$$ X \text{ 是路径连通的}, $$则$$ f(X) \text{ 在 } Y \text{ 中是路径连通的}. $$

证明. 任取$$ y_0,y_1\in f(X). $$则存在$$ x_0,x_1\in X $$使得$$ f(x_0)=y_0,\qquad f(x_1)=y_1. $$由于 $X$ 是路径连通的，存在一条路径$$ \alpha:[0,1]\to X $$满足$$ \alpha(0)=x_0,\qquad \alpha(1)=x_1. $$考虑复合映射$$ f\circ\alpha:[0,1]\to Y. $$由于 $f$ 与 $\alpha$ 都连续，$f\circ\alpha$ 连续，且$$ (f\circ\alpha)(0)=y_0,\qquad (f\circ\alpha)(1)=y_1. $$因此 $f\circ\alpha$ 是 $f(X)$ 中一条从 $y_0$ 到 $y_1$ 的路径，说明$$ f(X) \text{ 是路径连通的}. $$ □

道路连通可被同胚传递

道路连通分支

道路连通分支设 $X$ 是一个拓扑空间，$x,y\in X$。定义关系$$ x \sim_p y $$当且仅当存在一条路径 $\alpha:[0,1]\to X$，使得$$ \alpha(0)=x,\qquad \alpha(1)=y. $$关系 $\sim_p$ 是 $X$ 上的一个等价关系，即满足： (i) 自反性：$x \sim_p x.$(ii) 对称性：$x \sim_p y \;\Longrightarrow\; y \sim_p x.$(iii) 传递性：若$x \sim_p y \quad\text{且}\quad y \sim_p z $，则$x \sim_p z.$由上述命题，$\sim_p$ 是一个等价关系。$\sim_p$ 的等价类称为 $X$ 的一个路径分支（或路径分量, path component）。

备注（Remarks）

任意路径连通子集都包含于某一个路径分支中。
拓扑空间 $X$ 是路径连通的，当且仅当$X \text{ 只有一个路径分支}.$
每个路径分支一定是连通的，但一般而言$\text{连通分支} \;\supsetneq\; \text{路径分支}.$

直观理解

$x\sim_p y$：可以沿着一条连续轨迹从 $x$ 走到 $y$；
路径分支是“能用连续路径走到一起的最大块”；
在 $\mathbb{R}^n$ 等良性空间中，路径分支与连通分支一致；
在病态空间中，二者可能不同（例如拓扑学家正弦曲线）。

Lemma 1(路径连通性): 设 $X$ 是拓扑空间，$P$ 是 $X$ 的一个路径分支，则$P$是路径连通的. Lemma 2(极大性 / 最大性): 设 $P$ 是 $X$ 的一个路径分支，$A\subset X$ 是路径连通子集，且$ P\subset A.$ 则$A=P.$

连通（Connected）与路径连通（Path Connected）

定理 7若拓扑空间 $X$ 是路径连通的，则 $X$ 是连通的：$$ \text{path connected} \;\Longrightarrow\; \text{connected}. $$

证明. 反证，设 $X$ 是路径连通的，但 不连通。则存在 $X$ 的一个分离$$ \{U,V\}, $$满足$$ U\neq\varnothing,\quad V\neq\varnothing,\quad U\cap V=\varnothing,\quad U\cup V=X, $$且 $U,V$ 都是 $X$ 中的开集。取$$ x\in U,\qquad y\in V. $$由于 $X$ 是路径连通的，存在一条路径$$ a:[0,1]\to X $$使得$$ a(0)=x,\qquad a(1)=y. $$考虑原像集合$$ a^{-1}(U),\qquad a^{-1}(V). $$由于 $a$ 连续，$U,V$ 开，有$$ a^{-1}(U),\ a^{-1}(V)\ \text{是 }[0,1]\text{ 中的开集}. $$并且$$ 0\in a^{-1}(U),\quad 1\in a^{-1}(V), $$所以$$ a^{-1}(U)\neq\varnothing,\qquad a^{-1}(V)\neq\varnothing. $$又因为$$ U\cap V=\varnothing,\quad U\cup V=X, $$得到$$ a^{-1}(U)\cap a^{-1}(V)=\varnothing, $$$$ a^{-1}(U)\cup a^{-1}(V)=[0,1]. $$因此$$ \{a^{-1}(U),\,a^{-1}(V)\} $$构成了区间 $[0,1]$ 的一个分离。但 $[0,1]$ 在通常拓扑下是连通的，不可能存在这样的分离，矛盾。故假设不成立，从而$$ X \text{ 连通}. $$ □

存在拓扑空间是连通的，但不是路径连通的。

反例：拓扑学家的曲线

性质	含义	关系
连通	不能被分成两个不交的开集	较弱
路径连通	任意两点可由连续路径连接	较强
逻辑关系		路径连通 $\Rightarrow$ 连通
反例		拓扑学家正弦曲线

局部道路连通（Locally Path Connected）

Definition 局部道路连通设 $X$ 是一个拓扑空间。如果对任意$$ x\in X $$以及 $x$ 的任意一个邻域$$ U $$都存在一个路径连通的邻域$$ V $$满足$$ x\in V\subset U, $$则称 $X$ 是局部路径连通的（locally path connected）。

定理 8设 $X$ 是一个拓扑空间。若$$ X \text{ 连通且局部路径连通}, $$则$$ X \text{ 是路径连通的}. $$

证明. 反证，设 $X$ 不是路径连通的。则 $X$ 可分解为若干个互不相交的路径分支：$$ X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} P_\lambda, $$其中每个 $P_\lambda$ 是 $X$ 的一个路径分支，并且$$ |\Lambda|\ge 2. $$任选其中一个路径分支 $P_{\lambda_0}$。第一步：$P_{\lambda_0}$ 是开集任取$$ x\in P_{\lambda_0}. $$由于 $X$ 是局部路径连通的，存在一个路径连通的邻域$$ V $$满足$$ x\in V. $$由于 $V$ 是路径连通的，并且 $x\in P_{\lambda_0}$，根据路径分支的极大性，必有$$ V\subset P_{\lambda_0}. $$因此 $x$ 有一个包含于 $P_{\lambda_0}$ 的开邻域，从而$$ P_{\lambda_0} \text{ 是开集}. $$第二步：$P_{\lambda_0}$ 是闭集对任意 $\lambda\neq\lambda_0$，同理可知$$ P_\lambda \text{ 是开集}. $$因此$$ \bigcup_{\lambda\neq\lambda_0} P_\lambda $$是开集，而$$ X\setminus P_{\lambda_0}=\bigcup_{\lambda\neq\lambda_0} P_\lambda. $$这说明$$ P_{\lambda_0} \text{ 是闭集}. $$第三步：得到矛盾由构造可知：$$ P_{\lambda_0}\neq\varnothing,\qquad P_{\lambda_0}\neq X, $$且 $P_{\lambda_0}$ 同时是$$ \text{非空、开、闭、真子集}. $$这与$$ X \text{ 是连通的} $$矛盾。因此假设不成立，$X$ 必为路径连通空间。□

结论总结

一般情形下：

$$ \text{路径连通} \;\Longrightarrow\; \text{连通}, $$
但反向不成立；
若额外假设局部路径连通性，则
$$ \text{连通} \;\Longrightarrow\; \text{路径连通}; $$
因此在局部路径连通空间中：
$$ \text{连通} \iff \text{路径连通}. $$