封面画师：竹嶋えく
商空间
设
$$ (X,\mathcal T) $$是一个拓扑空间，$\sim$ 是 $X$ 上的一个等价关系。
商集定义为
$$ X/\sim=\{[x]\mid x\in X\}, $$其中
$$ [x]=\{y\in X\mid y\sim x\} $$是 $x$ 的等价类。
定义自然映射（canonical map）
$$ q:X\to X/\sim,\qquad x\mapsto [x]. $$商拓扑的定义： 定义集合族
$$ \tilde{\mathcal T} =\Bigl\{\,U\subset X/\sim \;\Big|\; q^{-1}(U)\text{ 在 }X\text{ 中是开集}\Bigr\}. $$则
$$ \tilde{\mathcal T} $$是 $X/\sim$ 上的一族拓扑，称为由 $q$ 诱导的商拓扑（quotient topology）。
赋予商拓扑 $\tilde{\mathcal T}$ 的集合
$$ (X/\sim,\tilde{\mathcal T}) $$称为一个商空间（quotient space）。
自然映射
$$ q:X\to X/\sim $$称为商映射（quotient map）。
备注（Remark）
映射
$$ q:X\to X/\sim $$总是满射。
对任意 $U\subset X/\sim$，
$$ U \text{ 在 } X/\sim \text{ 中是开集} \;\Longleftrightarrow\; q^{-1}(U) \text{ 在 } X \text{ 中是开集}. $$
$X/\sim$ 上的商拓扑 $\tilde{\mathcal T}$ 是使自然映射
$$q:X\to X/\sim$$连续的最细（finest）拓扑。
证明: 设 $\tilde{\mathcal T}'$ 是 $X/\sim$ 上的任意一个拓扑，并且
$$ q:(X,\mathcal T)\to (X/\sim,\tilde{\mathcal T}') $$是连续的。
由连续性的定义可知：
对任意
都有
$$ q^{-1}(U)\in \mathcal T. $$而根据商拓扑的定义，
$$ \tilde{\mathcal T} =\{\,V\subset X/\sim \mid q^{-1}(V)\in\mathcal T\,\}. $$因此对每个 $U\in\tilde{\mathcal T}'$，必有
$$ U\in \tilde{\mathcal T}. $$于是得到
$$ \tilde{\mathcal T}' \subset \tilde{\mathcal T}. $$这表明：
任何使 $q$ 连续的拓扑都不可能比 $\tilde{\mathcal T}$ 更细。
因此，$\tilde{\mathcal T}$ 正是 $X/\sim$ 上使 $q$ 连续的最细拓扑。
$$ \Box $$设 $(X,\mathcal T)$ 是拓扑空间，$\sim$ 是 $X$ 上的等价关系，
$q:X\to X/\sim$ 为自然映射，并赋予 $X/\sim$ 商拓扑。
则 $q$ 是一个商映射（quotient map），并且满足以下等价性：
对任意拓扑空间 $Z$ 及映射
$$ f:X/\sim \to Z, $$有
$$ f \text{ 连续 } \iff f\circ q:X\to Z \text{ 连续}. $$映射关系为
$$ X \xrightarrow{\,q\,} X/\sim \xrightarrow{\,f\,} Z, $$其中：
- $q$ 是商映射；
- 判断 $f$ 是否连续，只需判断 $f\circ q$ 是否连续。
$\Rightarrow$:
若 $f$ 连续，而 $q$ 连续（这是商拓扑的定义性质），
则连续映射的复合仍连续，因此
连续。
$\Leftarrow$:
假设
$$ f\circ q:X\to Z $$连续。
取任意开集
$$ V\subset Z. $$则
$$ (f\circ q)^{-1}(V)=q^{-1}\bigl(f^{-1}(V)\bigr) $$在 $X$ 中是开集。
根据商拓扑的定义：
$$ U\subset X/\sim \text{ 是开集 } \iff q^{-1}(U)\text{ 在 }X\text{ 中是开集}, $$于是由
$$ q^{-1}\bigl(f^{-1}(V)\bigr)\text{ 在 }X\text{ 中开} $$可推出
$$ f^{-1}(V)\text{ 在 }X/\sim\text{ 中开}. $$由于 $V$ 是任意开集，这正是 $f$ 连续的定义。
因此
$$ f \text{ 连续}. $$ □设 $X, Y$ 为拓扑空间。
若映射
$$ f : X \to Y $$满足以下条件：
满射性
$$ f \text{ 是满射（surjective）} $$由逆像刻画开集（或闭集） 对任意 $U \subset Y$，
$$ U \text{ 在 } Y \text{ 中是开集} \quad \Longleftrightarrow \quad f^{-1}(U) \text{ 在 } X \text{ 中是开集}. $$（等价地，也可以用闭集表述）
则称 $f$ 为一个 商映射（quotient map）。
注：Lemma (*)在该抽象定义下仍然成立。
Lemma: 设$X, Y$是拓扑空间，$f:X \to Y$是一个商映射，在 $X$ 上定义一个等价关系 $\sim_f$，对任意 $x_1, x_2 \in X$，$x_1 \sim_f x_2\quad \Longleftrightarrow \quadf(x_1) = f(x_2).$ 则有$X / \sim_f \;\cong\; Y$。
设 $f:X\to Y$ 是满射且连续的映射。
- 若 $f$ 是开映射，则 $f$ 是商映射；
- 若 $f$ 是闭映射，则 $f$ 是商映射。
设 $U\subset Y$，且 $f^{-1}(U)$ 在 $X$ 中是开集。
由于 $f$ 是开映射，$f(f^{-1}(U))$ 在 $Y$ 中是开集。
又因为 $f$ 是满射，有
因此 $U$ 在 $Y$ 中是开集。
由商映射的定义，$f$ 是商映射。
若 $X$ 是紧空间，$Y$ 是 Hausdorff 空间，则 $f$ 是商映射。
只需证明 $f$ 是闭映射。
设 $C\subset X$ 是闭集。由于 $X$ 紧，$C$ 也是紧集。
由 $f$ 的连续性，$f(C)$ 是 $Y$ 中的紧集。
又因为 $Y$ 是 Hausdorff 空间，紧集在 $Y$ 中必为闭集。
因此 $f$ 是闭映射，从而 $f$ 是商映射。
□设 $f:X\to Y$、$g:Y\to Z$ 都是商映射，则复合映射
$$ g\circ f : X\to Z $$也是商映射。
显然 $g\circ f$ 是满射且连续。
设 $U\subset Z$，且 $(g\circ f)^{-1}(U)$ 在 $X$ 中是开集。
注意到
由于 $f$ 是商映射，可得 $g^{-1}(U)$ 在 $Y$ 中是开集；
再由于 $g$ 是商映射，可得 $U$ 在 $Z$ 中是开集。
因此 $g\circ f$ 是商映射。
□若 $f_1:X_1\to Y_1$、$f_2:X_2\to Y_2$ 都是商映射，则
$$ f_1\times f_2 : X_1\times X_2 \to Y_1\times Y_2 $$不一定是商映射。
若 $f:X\to Y$ 是商映射且 $X$ 是 Hausdorff 空间，
则 $Y$ 不一定是 Hausdorff 空间。商映射一般不一定是开映射或闭映射。